Question

【題目】

已知點A(2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；

（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.

（i）證明：是直角三角形；

（ii）求面積的最大值.

（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為，可以得到等式，化簡可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；

（2）（i）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，求出P，Q兩點的坐標，進而求出點的坐標，求出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數關系求出的坐標，再求出直線的斜率，計算的值，就可以證明出是直角三角形；

（ii）由（i）可知三點坐標，是直角三角形，求出的長，利用面積公式求出的面積，利用導數求出面積的最大值.

（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；

（2）（i）設直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的坐標為

直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯立，，消去得，（*），設點，顯然點的橫坐標和是方程（*）的解

所以有，代入直線方程中，得

，所以點的坐標為，

直線的斜率為; ,

因為所以，因此是直角三角形；

（ii）由（i）可知：，

的坐標為，

，

,

,因為，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，因此當時，函數有最大值，最大值為.