Question

【題目】首項為O的無窮數列同時滿足下面兩個條件：

①；②

(1)請直接寫出的所有可能值；

(2)記，若對任意成立，求的通項公式；

(3)對于給定的正整數，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當為奇數時的最大值為; 當為偶數時，的最大值為.

【解析】

(1)由遞推關系得到的所有可能值；

(2)由題意可知數列的偶數項是單調遞增數列，先證明數列中相鄰兩項不可能同時為非負數，即可得到結果；

(3) 由（2）的證明知，不能都為非負數，分類討論即可得到結果.

（1）的值可以取 .

（2）因為，因為對任意成立，所以為單調遞增數列，

即數列的偶數項是單調遞增數列，

根據條件，，

所以當對成立 ，

下面我們證明“數列中相鄰兩項不可能同時為非負數”，

假設數列中存在同時為非負數，

因為，

若 則有，與條件矛盾，

若則有， 與條件矛盾 ，

所以假設錯誤，即數列中相鄰兩項不可能同時為非負數，

此時對成立，

所以當時，，即，

所以 ，

，

所以，

即，其中 ，

即，其中，

又，，

所以是以，公差為的等差數列，

所以 .

（3） 記img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/06/16/08/8f57fbfd/SYS201906160803112681422329_DA/SYS201906160803112681422329_DA.039.png" width="260" height="22" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

由（2）的證明知，不能都為非負數，

當，則，

根據，得到，所以，

當，則，

根據，得到，所以，

所以，總有成立 ，

當為奇數時，，故的奇偶性不同，則 ，

當為偶數時， ，

當為奇數時，，

考慮數列： ，，

可以驗證，所給的數列滿足條件，且,

所以的最大值為，

當為偶數時，，

考慮數列：，，-，， ,

可以驗證，所給的數列滿足條件，且，

所以的最大值為.