Question

【題目】在直三棱柱中，，，為線段上一點，平面.

（1）求證：為中點；

（2）若與所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）連接交于，連接，則為中點.，由平面，根據線面平行的性質定理，可證，即可證明結論；

（2）建立空間直角坐標系，設，得出坐標，進而有坐標，

由與所成角為，利用向量夾角公式求出，求出坐標，求出平面的法向量，根據線面角公式，即可求解.

（1）證明：連接交于，連接

∵，∴為正方形，∴為中點.

又平面，平面平面，

平面，∴，又為中點，

∴為中點.

（2）如圖，以為原點，以，，為

，，的正方向建立空間直角坐標系，

設，則，，，

，，，.

∵與所成角為，

∴，

整理得或（舍去），

，∴，

∵為中點，∴，.

設平面的一個法向量為，

則，即，取，

得，，∴

設直線與平面所成角為，

則，

故直線與平面所成角的正弦值為