Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是且邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)面為正三角形，其所在平面垂直于底面，若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面

【解析】

（1）利用已知可以判定四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可以得到線線平行，利用線面平行的判定定理證明出平面；

（2）根據(jù)為正三角形可以得到，再根據(jù)是等邊三角形得到，這樣根據(jù)線面垂直的判定定理可以證明平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以證明出；

（3）可以猜想為的中點(diǎn)時(shí).根據(jù)已知側(cè)面垂直于底面，可以通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理可以得到平面.這樣利用中位線可以證明出平面，這樣證明出猜想是正確的.

（1）由已知，，所以四邊形是平行四邊形..

又平面，平面，平面.

（2）連接.，.是等邊三角形，

又，平面..

（3）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面.證明如下、

平面平面，平面平面，，平面，

平面.連結(jié)交于.則是的中點(diǎn)，.

平面.又平面，平面平面.