Question

【題目】如圖,已知圓柱的底面圓的半徑，圓柱的表面積為；點在底面圓上，且直線與下底面所成的角的大小為，

(1)求點到平面的距離；

(2)求二面角的大小(結果用反三角函數值表示).

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)確定是直線與下底面所成的角，如圖以為坐標原點，以、分別為軸，面上過點且與垂直的線為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用距離公式，即可求點到平面的距離；
（2）平面的一個法向量為，由（1）知平面的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角的大小.

解：（1）設，因為底面半徑，圓柱的表面積為，
所以，解得，
因為⊥底面，所以是在底面上的射影，
所以是直線與下底面所成的角，即，
在直角三角形中，，，所以，
是底面直徑，所以，
以為坐標原點，以、分別為軸，面上過點且與垂直的線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示：

則，
于是，
設平面的一個法向量為，則，
不妨令，則，
所以到平面的距離，
所以點到平面的距離為；
（2）平面的一個法向量為，
由（1）知平面的一個法向量，
二面角的大小為，則，
由于二面角為銳角，所以二面角的大小為.