Question

【題目】已知拋物線：，直線截拋物線所得弦長為.

（1）求的值；

（2）若直角三角形的三個頂點在拋物線上，且直角頂點的橫坐標為1，過點、分別作拋物線的切線，兩切線相交于點.

①若直線經過點，求點的縱坐標；

②求的最大值及此時點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）①-3.②最大值見解析，

【解析】

（1）聯立，求出交點，利用兩點距離公式列方程求解即可；

（2）①設點，，，切線：，：，化歸為二次方程的根的問題，可得直線的方程，代入點，即可得點的縱坐標；②由題設知，即，利用面積公式表示出，利用函數的性質求其最值.

解：（1），解得兩交點為，.

所以，.

（2）①設點，，.切線：，：，

由題設知，，

即，是方程的兩根，于是，.

故直線：.又因為直線經過點，

所以，即點的縱坐標為-3；

②由題設知，即.

則，

若，令，，

若，令，，

當且僅當，時，等號成立，此時點的坐標為.