Question

【題目】在直角坐標系中，圓的普通方程為．在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（1）寫出圓的參數方程和直線的直角坐標方程；

（2）設點在上，點Q在上，求的最小值及此時點的直角坐標．

Answer 1

【答案】（1）圓的參數方程：，直線：；（2），此時點的坐標為

【解析】

（1）整理圓的方程為,即可寫出參數方程,利用將直線方程寫為直角坐標方程即可；

（2）法一：利用參數方程設曲線上的點,利用點到直線距離公式可得,則根據三角函數的性質求處最值,并將代回求得坐標；

法二：為圓心到直線距離減去半徑,再利用弦與直線垂直的性質得所在直線為,聯立直線與圓的方程即可求得交點的坐標

（1）圓的方程可化為,圓心為,半徑為,

∴圓的參數方程為（為參數）,

直線的極坐標方程可化為,

∵,∴直線的直角坐標方程為

（2）法一：設曲線上的點,

點到直線：的距離：

,

當時,,

此時點的坐標為,所以,此時點的坐標為

法二：曲線是以為圓心,半徑為的圓,

圓心到直線的距離,

所以,

此時直線經過圓心,且與直線垂直,

,所以,所在直線方程為,即,

聯立直線和圓的方程,解得或,

當取得最小值時,點的坐標為,

所以,此時點的坐標為