Question

【題目】如圖，已知兩個(gè)半徑不相等的與相交于M、N兩點(diǎn)，且、分別與內(nèi)切于S、T兩點(diǎn)。求證：OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點(diǎn)共線。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

如圖，設(shè)的半徑分別為.由條件知三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，且OS=OT=r.連結(jié).

充分性.設(shè)S、N、T三點(diǎn)共線，則∠S=∠T.又與均為等腰三角形.

故∠S=∠,∠T=∠.

于是，∠S≈∠，∠T=∠.

從而，.

故四邊形為平行四邊形.

因此，，

.

故.

從而，.由此得.

又由于，故.

必要性.若，，有.從而..

設(shè)OM=a，由，，知與的周長(zhǎng)都等于，記.

由三角形面積的海倫公式，有.

化簡(jiǎn)得.

又已知，有.

故，.

所以，為平行四邊形.從而，.

又與均為等腰三角形，，，即，.于是，.

故 ,.

所以,S、N、T三點(diǎn)共線.