Question

【題目】已知函數的定義域是的一切實數，對定義域內的任意，都有且當時，.

（1）求證：是偶函數；

（2）求證：在上是增函數；

（3）試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據題意和式子的特點，先令x1＝x2＝1求出f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，求出f（﹣1）＝0，再令x1＝﹣1，x2＝x求出f（﹣x）＝f（x），則證出此函數為偶函數；

（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所給的式子進行作差變形，利用x2和且0，判斷符號并得出結論；

（3）利用奇偶性與單調性比較大小即可.

解：（1）由題意知，對定義域內的任意x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），

令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，

令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，

令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），

∴f（x）是偶函數；

（2）設x2＞x1＞0，則

∵x2＞x1＞0，∴，∴0，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；

（3）∵f（x）是偶函數，∴，

又f（x）在（0，+∞）上是增函數，且，

∴，

即.