Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）當直線的斜率為時，求的面積．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得經， 為領邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】試題分析：(1)由短軸長為得，由兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點得，由此求出，即可求出橢圓方程；(2)先寫出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯立，求出的坐標，從而求出，由點到直線的距離公式求出點到到直線的距離即可求三角形的面積；(3) 設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，設出直線方程，與橢圓方程聯立，由韋達定理計算，即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）設橢圓方程為，

根據題意得所以，

所以橢圓方程為；

（2）根據題意得直線方程為，

解方程組得坐標為， 計算，

點到直線的距離為， 所以，；

（3）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以設直線的方程為．

坐標為，

由得，，

，

計算得：，其中，

由于以為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以，

計算得， 即，， 所以.

（可以設點，也可以設直線得到和的函數關系式）