Question

如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上
運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，且與拋物線C分別相切于A，B兩點(diǎn)．
（1）求△APB的重心G的軌跡方程．
（2）證明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

（1）；（2）見解析.

本試題主要考查了軌跡方程的求解和證明角的相等問題。
解：（1）設(shè)切點(diǎn)，坐標(biāo)分別為和，
切線的方程為：；切線的方程為：；
由于既在又在上，所以 解得， 
所以的重心的坐標(biāo)為，
，
所以，由點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心的軌跡方程為：
，即．
（2）方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232130551881052.png" style="vertical-align:middle;" />，，．
由于點(diǎn)在拋物線外，則．
，
同理有，
．
方法2：①當(dāng)時(shí)，由于，不妨設(shè)，則，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：；而直線的方程：，
即．所以P點(diǎn)到直線BF的距離為： 所以，即得．
②當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：，即，
直線的方程：，即，
所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：
，
同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由，可得到．