Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點.

（I）若為上的一點，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點,連接，證明 ，即可說明，由底面為正方形，可求得;

（Ⅱ）以為坐標原點，分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求得各點的坐標，以及平面的法向量為，根據線面所成角的正弦值的公式即可求解。

（Ⅰ）證明：取中點,連接,有,

因為，所以,

又因為三棱柱為直三棱柱，

所以,

又因為,

所以，

又因為

所以

又因為,平面,平面,

所以，又因為平面,

所以,

因為，

所以,

連接,設，因為為正方形，

所以,又因為

所以,

又因為為的中點，

所以為的中點,

所以.

（Ⅱ）

如圖以為坐標原點，分別以為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

設,由（Ⅰ）可知，

所以，

所以,

所以,

所以，

設平面的法向量為，

則即

則的一組解為．

所以

所以直線與平面成角的正弦值為.