Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上，存在唯一的零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（0，1）.

【解析】試題分析：（1）先證明函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理證明上存在零點(diǎn)即可。（2）“若存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為

“”，利用導(dǎo)數(shù)可得 ，從而由得，設(shè)g（a）=lna+a﹣1，由g（a）的單調(diào)性可得當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，故所求范圍為（0，1）。

試題解析：

（1）證明：∵， ，

∴，

∵，

∴，

∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

又當(dāng)a≤0時(shí)， ， ，

所以函數(shù)上存在唯一零點(diǎn)。

（2）由（1）得，

∵a＞0，

∴當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減。

∴在x=時(shí)取得最大值，且最大值為。

“存在”等價(jià)于

∴，

∴，

令g（a）=lna+a﹣1

∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）=0，

∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0；當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0。

∴a的取值范圍為（0，1）。