Question

【題目】【2018江西蓮塘一中、臨川二中高三上學期第一次聯考】二次函數的圖象過原點，對，恒有成立，設數列滿足．

（I）求證：對，恒有成立；

（II）求函數的表達式；

（III）設數列前項和為，求的值．

【答案】（I）證明見解析；（II）；(III)2018．

【解析】試題分析：

(1)左右兩側做差，結合代數式的性質可證得，即對，恒有：成立；

(2)由已知條件可設，給定特殊值，令，從而可得：，則，，從而有恒成立，據此可知，則.

(3)結合(1)(2)的結論整理計算可得：，據此分組求和有：.

試題解析：

（1）（僅當時，取“=”）

所以恒有：成立；

（2）由已知條件可設，則中，令，

從而可得：，所以，即，

又因為恒成立，即恒成立，

當時，，不合題意舍去，

當時，即，所以，所以.

（3），

所以，

即.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】已知函數 為定義在上的奇函數.

（1）求函數的值域；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意結合奇函數的性質可得，據此函數的解析式為： ，

(2)結合題意可得時， 仍然是奇函數，由題意可知在上單調遞增，整理變形后構造函數，問題轉化為在上單調遞減，結合均值不等式的結論可得實數的最小值為.

試題解析：

（1）因為的定義域為R上的奇函數，所以，

即， ，

（2）當時， 仍然是奇函數，

則有： ，

求導： 恒成立， 在上單調遞增，

令，則等價于：

對任意恒成立，

不妨設，則有，即，

所以，

構造函數，現只需在上單調遞減，

所以，即，

因為，所以，當時，即時，取“=”，

則有，所以實數的最小值為.