Question

已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＜0，且f（2）=-

1

2

，則不等式xf（x）＜-1的解集為（　　）

• A、（-∞，-

  1

  2

  ）∪（

  1

  2

  ，+∞）
• B、（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-2，2）

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,作圖題,導數的綜合應用

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，f′（x）＜0，且f（2）=-

1

2

得條件作出函數f（x）的草圖，討論求不等式xf（x）＜-1的解集．

解答： 解：由題意作草圖如下，

f（x）在R上遞減；當x＞0時，f（x）＜-

1

x

，且其交點是（2，-

1

2

），
當x＜0時，f（x）＞-

1

x

，
其交點是（-2，

1

2

），
所以解集為（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故選C．

點評：本題考查了學生的作圖能力及導數的應用，同時考查了分類討論的數學思想，屬于難題．