Question

如圖，下列五個正方體圖形中，I是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出I垂直于平面MNP的圖形的序號是

 

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Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：設定正方體的頂點如圖，連結DB，AC，根據M，N分別為中點，判斷出MN∥AC，由四邊形ABCD為正方形，判斷出AC⊥BD進而根據DD′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判斷出DD′⊥AC，進而根據線面垂直的判定定理推斷出AC⊥平面DBB′，根據線面垂直的性質可知AC⊥DB′，利用線面垂直的判定定理推斷出由MN∥AC，推斷出DB′⊥MN，同理可證DB′⊥MF，DB′⊥NF，利用線面垂直的判定定理推斷出DB′⊥平面MNF．④中由①中證明可知I⊥MP，根據MN∥AC，AC⊥I，推斷出I⊥MN，進而根據線面垂直的判定定理推斷出I⊥平面MNP，同理可證明⑤中I⊥平面MNP．

解答： 解：設定正方體的頂點如圖，連結DB，AC，
∵M，N分別為中點，
∴MN∥AC，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩DB′=B，BB′?平面DBB′，AC?平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′?平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MN∥AC，
∴DB′⊥MN，
同理可證DB′⊥MF，DB′⊥NF，
∵MF∩NF=F，MF?平面MNF，NF?平面MNF，
∴DB′⊥平面MNF，即I垂直于平面MNP，故①正確．
④中由①中證明可知I⊥MP，
∵MN∥AC，
AC⊥I，
∴I⊥MN，
∴I⊥平面MNP，
同理可證明⑤中I⊥平面MNP．
故答案為：①④⑤

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理．考查了學生空間思維能力和觀察能力．