Question

如圖，已知不垂直于x軸的動直線l交拋物線y²＝2mx(m＞0)于A、B兩點，若A、B滿足∠AQP＝∠BQP，其中Q點坐標為(－4，0)，原點O為PQ的中點．

(1)證明A、P、B三點共線．

(2)當m＝2時，是否存在垂直于x軸的直線，使得被以AP為直徑的圓所截得的弦長為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設A()，B()． 　　∵∠AQP＝∠BQP，tan∠AQP＝tan∠BQP， 　　∴． 　　∴y1y2(y1＋y2)＝－8m(y1＋y2)． 　　∵l不垂直于x軸，∴y1y2＝－8m． 　　∵O點是PQ的中點，且Q(－4，0)， 　　∴P(4，0)． 　　又kAP＝， 　　∴kAP＝kBP．∴A、B、P共線． 　　(2)設存在滿足條件，設其方程為x＝n． 　　設A(x1，y1)，則y12＝4x1． 　　∵以AP為直徑的圓的圓心C()， 　　∴直線被圓截得的弦長為 　　． 　　∴當n＝3時，弦長為定值． 　　∴存在直線x＝3滿足要求．