Question

【題目】已知函數f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下說法中不正確的是（ ）
A.f（x）周期為2π
B.f（x）最小值為﹣
C.f（x）在區間[0， ]單調遞增
D.f（x）關于點x= 對稱

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數周期為2π，故①正確；
②設t=sinx+cosx= sin（x+ ）∈[﹣ ， ]，
∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，
∴sin2x=t2﹣1，
∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+ ）2﹣ ，t∈[﹣ ， ]，
由二次函數可知，當t∈[﹣ ，﹣ ]時，函數y=t2+t﹣1單調遞減，當t∈[﹣ ， ]時，函數y=t2+t﹣1單調遞增，
∴當t=﹣ 時，函數取最小值ymin=﹣ ，故②正確；
③∵f（x）=sin2x+sinx+cosx，
當x= 時，f（x）=1+ ，
當x= 時，f（x）=1，
∴f（x）在區間[0， ]不是單調遞增．
故③錯誤；
④∵f（ ﹣x）=sin[2（ ﹣x）]+sin（ ﹣x）+cos（ ﹣x）=sin（π﹣2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），
∴函數關于x= 對稱，故④正確．
所以答案是：C．