Question

若正數x，y滿足x+y=1，且

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，則正數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：利用基本不等式的性質可得

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，由于

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，可得4≤(

1

x

+

a

y

)min，解出即可．

解答： 解：∵正數x，y滿足x+y=1，
∴

1

x

+

a

y

=（x+y）(

1

x

+

a

y

)=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

y x • ax y

=1+a+2

a

，當且僅當y=

a

x時取等號．
∵

1

x

+

a

y

≥4對任意x，y∈（0，1）恒成立，
∴1+a+2

a

≥4，
化為(

a

)2+2

a

-3≥0，即(

a

+3)(

a

-1)≥0
解得a≥1．
∴正數a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．