Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，過點F作直線l交拋物線C于A、B兩點；橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，點F是它的一個頂點，且其離心率．
（1）經過A、B兩點分別作拋物線C的切線l₁，l₂，切線l₁與l₂相交于點M．證明：；
（2）橢圓E上是否存在一點M'，經過點M'作拋物線C的兩條切線M'A'，M'B'（A'，B'為切點），使得直線A'B'過點F？若存在，求出拋物線C與切線M'A'，M'B'所圍成圖形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯立，得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由拋物線C的方程為，知，過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是，由此能夠求．
（2）設橢圓E的方程為，半焦距為c，，解得a=2，b=1，所以橢圓E的方程是．假設存在點M‘滿足題意，點M’心在直線y=-1上，由此能夠求出拋物線C與切線M′A′，M′B′所圍成圖形的面積是=．
解答：解：（1）聯立，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵拋物線C的方程為，∴，
∴過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是
，
即，
解得兩條切線l₁，l₂的交點坐標為，即M（2k，-1），
要證，即證，
∵
==0，∴．
（2）設橢圓E的方程為，半焦距為c，
，解得a=2，b=1，
∴橢圓E的方程是．
假設存在點M‘滿足題意，由（1）知，點M’心在直線y=-1上，
又直線y=-1與橢圓E有唯一交點，故M‘（0，-1）．
設過點M’且與拋物線C相切的切線方程這：，
其中點（x，y）為切點，
令x=0，y=-1，得-1-=，
解得x=2或x=-2．
取A‘（-2，1），B’（2，1）即直線A‘B’過點F，
綜上所述，橢圓E上存在一點M‘（0，-1），經過點M′作拋物線C的兩條切線M′A′，M′B′（A′，B′為切點），
此時，兩條切線分別為y=-x-1，y=x-1．
拋物線C與切線M′A′，M′B′所圍成圖形的面積是=．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．