Question

直角坐標系下，O為坐標原點，定點E（8，0），動點M（x，y）滿足

MO

•

ME

=x²，
（1）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過定點F（2，0）作互相垂直的直線l₁，l₂分別交軌跡C于點M，N和點R，Q，求四邊形MRNQ面積的最小值；
（3）定點P（2，4），動點A，B是軌跡C上的三個點，且滿足K_PA•K_PB=8試問AB所在的直線是否過定點，若是，求出該定點的坐標；否則說明理由．

Answer 1

（1）由題意知：（-x，-y）•（8-x，-y）=x²，
∴y²=8x為點M的軌跡方程；
（2）由題設條件知直線l₁，l₂的斜率都存在，且不為0，
設MN的方程為y=k（x-2），與y²=8x聯立，得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

4k2+8

k2

，
由拋物線定義知：|MN|=x1+x2+4=

8(k2+1)

k2

，
同理，RQ的方程為y=-

1

k

(x-2)，|RQ|=8(k2+1)，
∴SMRNQ=

1

2

|MN||RQ|=32×

(k2+1)2

k2

=32(k2+

1

k2

+2)≥32(2+2)=128，
當且僅當k²=1，k=±1時，取“=”號，故四邊形MRNQ面積的最小值為128．
（3）設A（

y12

8

，y1），B(

y22

8

，y2)，（y₁≠y₂），
則kPA=

8

y1+4

，kPB=

8

y2+4

，
∴kPA•kPB=

64

(y1+4)(y2+4)

=8，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）+8=0…①
lAB：y-y1=

8

y1+y2

(x-

y12

8

)，
∴y=

8

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y₁y₂-（y₁+y₂）y+8x=0，
與①比較知，直線AB過定點（1，-4）．