Question

【題目】（本小題滿分12分）已知是定義在 上的奇函數，且，當,時，有成立．

（Ⅰ）判斷在 上的單調性，并加以證明；

（Ⅱ）若對所有的恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在[－1, 1]上單調遞增；（2）m＝0或|m|≥2．

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）任取 [－1, 1]，且，則－[－1，1]．因為f（x）為奇函數．

所以,

由已知得 ＞0，，

所以，即．

所以f（x）在[－1, 1]上單調遞增．

（Ⅱ）因為f（1）＝1, f（x）在[－1, 1]上單調遞增，

所以在[－1, 1]上，f（x）≤1．

問題轉化為，

即≥0，對a[－1，1]恒成立．

下面來求m的取值范圍．

設g（a）＝≥0．

①若m＝0，則g（a）＝0，對a[－1, 1]恒成立。

②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，

若g（a）≥0，對a[－1, 1]恒成立，必須g（－1）≥0，且g（1）≥0，

所以m≤－2或m≥2．

所以m的取值范圍是m＝0或|m|≥2．