Question

【題目】已知數列{an}，{bn}滿足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．

（1）若a1＝1，bn＝n，求數列{an}的通項公式；

（2）若bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2．

（ⅰ）記cn＝a6n－1（n≥1），求證：數列{cn}為等差數列；

（ⅱ）若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項a1應滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）an＝（2）（ⅰ）詳見解析（ⅱ）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）利用疊加法求數列{an}的通項公式：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝（2）（ⅰ）利用定義證等差數列：cn＋1－cn＝

a6n＋5－a6n－1為常數，由bn＋1bn－1＝bn得{bn}為周期數列，再由bn＝an＋1－an得a6n＋5－a6n－1＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4＝7（ⅱ）由（ⅰ）知數列{a6(n－1)＋i}均為以7為公差的等差數列，而，因此ai＝時，重復出現無數次，因此依次類推得a1∈{，，，－，－}數列中必有某數重復出現無數次；當a1B時，最多出現一次

試題解析：解：（1）當n≥2時，有an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)

＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝

又a1＝1也滿足上式，所以數列{an}的通項公式是an＝

（2）（ⅰ）因為對任意的n∈N*，有bn＋6＝＝bn，

所以cn＋1－cn＝a6n＋5－a6n－1

＝b6n－1＋b6n＋b6n＋1＋b6n＋2＋b6n＋3＋b6n＋4

＝1＋2＋2＋1＋＋＝7

所以，數列{cn}為等差數列．

（ⅱ）設cn＝a6(n－1)＋i(n∈N*)（其中i為常數且i∈{1，2，3，4，5，6}，

所以cn＋1－cn＝a6(n－1)＋6＋i－a6(n－1)＋i

＝b6(n－1)＋i＋b6(n－1)＋i＋1＋b6(n－1)＋i＋2＋b6(n－1)＋i＋3＋b6(n－1)＋i＋4＋b6(n－1)＋i＋5＝7，

即數列{a6(n－1)＋i}均為以7為公差的等差數列．

設fk＝（其中n＝6k＋i， k≥0，

i為{1，2，3，4，5，6}中一個常數）

當ai＝時，對任意的n＝6k＋i，有；

當ai≠時，fk＋1－fk＝－＝

①若ai＞，則對任意的k∈N有fk＋1＜fk，所以數列{ }為遞減數列；

②若ai＜，則對任意的k∈N有fk＋1＞fk，所以數列{}為遞增數列．

綜上所述，集合B＝{}∪{}∪{}∪{－}∪{－}＝{，，，－，－}．當a1∈B時，數列中必有某數重復出現無數次；當a1B時，數列{}(i＝1，2，3，4，5，6)均為單調數列，任意一個數在這6個數列中最多出現一次，所以數列任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次．16分