Question

【題目】已知關于x的二次函數f（x）=ax2﹣4bx+1
（Ⅰ）設集合P={1，2，3}，集合Q={﹣1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數作為a，從集合Q中隨機取一個數作為b，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（Ⅱ）設點（a，b）是區域 內的隨機點，求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

【答案】解（Ⅰ）∵函數f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為x= ，
要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，
當且僅當a＞0且x= ≤1，
即2b≤a．
若a=1，則b=﹣1；
若a=2，則b=﹣1，1；
若a=3，則b=﹣1，1，
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為 ．
（Ⅱ）由（1）知當且僅當2b≤a．且a＞0時，
函數f（x）=ax2﹣4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為{ }
構成所求事件的區域為三角形部分．
由 ，解得a= ，b= ，即交點坐標（ ， ），
∴所求事件的概率為P=
【解析】（Ⅰ）根據古典概率的概率公式進行計算即可求出概率．（Ⅱ）根據幾何概型的概率公式進行計算即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二元一次不等式（組）所表示的平面區域和幾何概型的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握不等式組表示的平面區域是各個不等式所表示的平面區域的公共部；幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．