Question

設

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O為坐標原點，動點P（x，y）滿足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，則z=x²+y²的最大值是

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：利用數量積的運算性質可得點P滿足的可行域，再利用兩點間的距離公式即可得出．

解答： 解：∵

OM

=（1，

1

2

），

ON

=（0，1），O為坐標原點，動點P（x，y）滿足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，
∴0≤x+

1

2

y≤1，0≤y≤1．
畫出可行域：
由圖象可知：當P取點A(-

1

2

，1)時，|OP|取得最大值

x2+y2

=

(- 1 2 )2+12

=

5 4

．
∴z=x²+y²的最大值是

5

4

．
故答案為：

5

4

．

點評：本題綜合考查了數量積的運算性質、線性規劃中的可行域、兩點間的距離公式等基礎知識與基本技能方法，考查了數形結合的能力，屬于中檔題．