Question

已知F₂、F₁是雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)F₂關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰好落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、3
• B、

  3

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先求出F₂到漸近線的距離，利用F₂關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰落在以F₁為圓心，|OF₁|為半徑的圓上，可得直角三角形MF₁F₂，運(yùn)用勾股定理，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：由題意，F(xiàn)₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），
一條漸近線方程為y=

a

b

x，則F₂到漸近線的距離為

bc

a2+b2

=b．
設(shè)F₂關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為M，F(xiàn)₂M與漸近線交于A，
∴|MF₂|=2b，A為F₂M的中點(diǎn)，
又0是F₁F₂的中點(diǎn)，∴OA∥F₁M，∴∠F₁MF₂為直角，
∴△MF₁F₂為直角三角形，
∴由勾股定理得4c²=c²+4b²
∴3c²=4（c²-a²），∴c²=4a²，
∴c=2a，∴e=2．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及有關(guān)離心率和漸近線，考查勾股定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．