Question

記C_i^r為從i個不同的元素中取出r個元素的所有組合的個數．隨機變量ξ表示滿足C_i^r≤

1

2

i²的二元數組（r，i）中的r，其中i∈{2，3，4，5，6，7，8，9，10}，每一個C_i^r（r=0，1，2，…，i）都等可能出現．求Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統計

分析：由已知得當r=0，1，2，i-2，i-1，i時，

C

r i

≤

1

2

i2成立，當r=3，…，i-3時，

C

r i

＞

1

2

i2，由此能求出Eξ．

解答： 解：∵

C

r i

≤

1

2

i2，
當i≥2時，

C

0 i

=

C

i i

=1≤

1

2

i2，

C

1 i

=

C

i-1 i

=i≤

1

2

i2，

C

2 i

=

C

i-2 i

=

i(i-1)

2

≤

1

2

i2，

C

3 5

≤

52

2

，
∴當2≤i≤5，i∈N*時，

C

r i

≤

1

2

i2的解為r=0，1，…，i．…（3分）
當6≤i≤10，i∈N*，

C

r+1 i

≥

C

r i

?r≤

i-1

2

，
由

C

3 i

=

i(i-1)(i-2)

6

≤

1

2

i2?i=3，4，5可知：
當r=0，1，2，i-2，i-1，i時，

C

r i

≤

1

2

i2成立，
當r=3，…，i-3時，

C

r i

≥

C

3 i

≥

1

2

i2（等號不同時成立），即

C

r i

＞

1

2

i2．…（6分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P（ξ）	3 16	3 16	3 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 16	1 24	1 48

…（8分）
∴Eξ=(0+1+2)×

3

16

+(3+4+5+6+7+8)×

1

16

+9×

1

24

+10×

1

48

=

77

24

．…（10分）

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．