Question

已知函數，．
（Ⅰ）解方程：；
（Ⅱ）設，求函數在區間上的最大值的表達式；
（Ⅲ）若，，求 的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

試題分析：（Ⅰ），
或（舍去），
所以．
（Ⅱ），，
令，則，
①當時，，
②當時，，
若，則，
若，當，即時，，
當，即時，，
當，即時，，
綜上，．
（Ⅲ）由題意知：，
所以，
其中，所以，
由知的最大值是，又單調遞增，
所以．
點評：中檔題，本題綜合考查分段函數的概念，指數函數的性質，二次函數的圖象和性質，均值定理的應用。利用換元思想，將問題轉化成二次函數問題，通過變換函數表達式，創建應用均值定理的條件，體現應用數學知識的靈活性。