Question

【題目】設函數（）.

（1）試討論函數的單調性；

（2）設，記，當時，若函數與函數有兩個不同交點，，設線段的中點為，試問s是否為的根?說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）s不是的根，理由見解析

【解析】

(1)求解函數的導函數,分類討論可得:①若時,當時,函數單調遞減,當時,函數單調遞增; ②若時，函數單調遞增; ③若時，當時,函數單調遞減,當時,函數單調遞增.

(2)構造新函數,求解導函數可得,欲證，故只需證明., 由于,是方程的兩個不相等的實根,不妨設為,代入方程化簡可得,故只需證明,化簡為,構造 ，，通過求導可知在單調遞增.又,因此即可證明不成立.

（1）由，可知.

因為函數的定義域為，所以，

①若時，當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增；

②若時，當在內恒成立，函數單調遞增；

③若時，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增.

（2）證明：由題可知（），

所以

所以當時，；當時，；當時，

欲證，故只需證明.

設，是方程的兩個不相等的實根，不妨設為，

則

兩式相減并整理得，

從而，

故只需證明（*）

即.所以（*）式可化為，即

因為，所以，不妨令，即證，成立.

記，，所以，當且僅當時，等號成立，

因此在單調遞增.又，因此，，故，，即不成立.

故s不是的根得證.