Question

【題目】橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，該橢圓經過點 且離心率為 ．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓的標準方程為
（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2）， 得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，

∴

∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，∴kADkBD=﹣1，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=﹣2k， k，且均滿足3+4k2﹣m2＞0，

當m1=﹣2k時，l的方程為y=k（x﹣2），則直線過定點（2，0）與已知矛盾

當 時，l的方程為 ，則直線過定點

∴直線l過定點，定點坐標為

【解析】（1）根據橢圓的方程和簡單幾何性質，使用待定系數法即可；（2）要證明直線系y=kx+m過定點，就要找到其中的參數k，m之間的關系，把雙參數化為但參數問題解決，這只要根據直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點即可，這個問題等價于橢圓的右頂點與A，B的張角是直角．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．