Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x²-（m+1）x-m-2的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸，與y軸交于點C，且OB=3OA．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，過點A的直線y=

1

2

x+

1

2

與拋物線交于點E．問：在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點G（x，1）在拋物線上，求出過點A、B、G的圓的圓心的坐標．

Answer 1

分析：解：（1）由題設條件，設A（-x₀，0），B（3x₀，0）（x₀＞0），則x0=

m+1

2

，由A（-x₀，0），知(-

m+1

2

)2-(m+1)×(-

m+1

2

)-m-2=0，由此能求出這個二次函數的解析式．
（2）由這個二次函數的解析式為y=x²-2x-3，知A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），對稱軸為直線x=1．由

y=x2-2x-3 y= 1 2 x+ 1 2

，得到點E的坐標為（

7

2

，

9

4

）．過點E作EH⊥x軸于H．在Rt△AEH中，可求AE=

9

4

5

，若對稱軸與直線y=

1

2

x+

1

2

交于點P，P點坐標為（1，1）．由∠PAM=∠MDB，知要使得在拋物線的對稱軸上存在點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，只需要

AB

AF

=

DB

DE1

或

AB

AE

=

DF2

DB

．由此能求出符合題意的F點坐標．
（3）由點G（x，1）在拋物線上，知點G的坐標為（1±

5

，1），由A、B、G在同一圓上，知圓心一定在拋物線的對稱軸上，由PA=PA=PG=

5

，知點P即為過點A、B、G的圓的圓心．

解答：解：（1）由題設條件，設A（-x₀，0），B（3x₀，0）（x₀＞0），
則x0=

m+1

2

，
∴由A（-x₀，0），知(-

m+1

2

)2-(m+1)×(-

m+1

2

)-m-2=0，
即3m²+2m-5=0，
解得m=1，或m=-

5

3

（舍）．
∴這個二次函數的解析式為y=x²-2x-3．
（2）在拋物線的對稱軸上存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似．∵這個二次函數的解析式為y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
對稱軸為直線x=1．
∵過點A的直線y=

1

2

x+

1

2

與拋物線交于點E，
∴

y=x2-2x-3 y= 1 2 x+ 1 2

，
解得

x=1 y=0

或

x= 7 2 y= 9 4

，
∴點E的坐標為（

7

2

，

9

4

）．
過點E作EH⊥x軸于H
在Rt△AEH中，可求AE=

9

4

5

．
若對稱軸與直線y=

1

2

x+

1

2

交于點P，
∴P點坐標為（1，1）
∵對稱軸與x軸垂直，交點為點M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2

5

，
在Rt△APM中，tan∠PAM=

PM

AM

=

1

2

，
在Rt△BMD中，tan∠MDB=

BM

DM

=

1

2

，
∴∠PAM=∠MDB．
由題意，要使得在拋物線的對稱軸上存在點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，只需要

AB

AF

=

DB

DE1

或

AB

AE

=

DF2

DB

．

∴

4

9 5 4

=

2 5

DF1

，
解得DF1=

45

8

，
∴點F₁ 的坐標為（1，

13

8

）．
或

4

9 5 4

=

DF2

2 5

，
解得 DF2=

32

9

，
∴點F₂ 的坐標為（1，-

4

9

）．
綜上，符合題意的F點坐標為F(1，-

4

9

)或F(1，

13

8

)．
（3）∵點G（x，1）在拋物線上
∴點G的坐標為（1±

5

，1），
又∵A、B、G在同一圓上
∴圓心一定在拋物線的對稱軸上
∵PA=PA=PG=

5

，
∴點P即為過點A、B、G的圓的圓心
∴點P的坐標為（1，1）．

點評：本題主要考查二次函數的性質和應用，直線與圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．