Question

（2007廣州市水平測試）已知圓C經過坐標原點，且與直線x-y+2=0相切，切點為A（2，4）．
（1）求圓C的方程；
（2）若斜率為-1的直線l與圓C相交于不同的兩點M、N，求

AM

•

AN

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解法一：設圓C的圓心為C，推出直線AC的方程．利用直線OA的斜率，求出直線OA的垂直平分線，求出圓心C的坐標，圓的半徑，得到圓的方程．
解法二：設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，通過圓C經過坐標原點，且與直線x-y+2=0相切，切點為A（2，4）．解得

a=7 b=-1 r=5 2

，求出圓的方程．
解法三：設圓心C的坐標為（a，b）．依題意通過解方程組，求出圓的圓心坐標求出半徑，得圓的方程．
（2）設直線l的方程為y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．利用直線與圓的方程列出方程組，借助韋達定理，利用向量數量積，通過直線l與圓C相交于不同兩點，求出

AM

•

AN

的取值范圍．

解答：（本小題滿分14分）
（1）解法一：設圓C的圓心為C，依題意得直線AC的斜率k_AC=-1，
∴直線AC的方程為y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直線OA的斜率kOA=

4

2

=2，
∴直線OA的垂直平分線為y-2=-

1

2

(x-1)，即x+2y-5=0．
解方程組

x+y-6=0 x+2y-5=0

得圓心C的坐標為（7，-1）．
圓的半徑為r=|AC|=

(7-2)2+(-1-4)2

=5

2

，
圓的方程為（x-7）²+（y+1）²=50．
解法二：設圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
依題意得

(2-a)2+(4-b)2=r2 |a-b+2| 2 =r a2+b2=r2

，
解得

a=7 b=-1 r=5 2

圓的方程為（x-7）²+（y+1）²=50．
解法三：設圓心C的坐標為（a，b）．
依題意得

b-4 a-2 ×1=-1 a2+b2 = (a-2)2+(b-4)2

，
解得

a=7 b=-1

，
∴圓心C的坐標為（7，-1）．
∴圓C的半徑為r=|OC|=

72+(-1)2

=5

2

．圓的方程為（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）解：設直線l的方程為y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

y=-x+m (x-7)2+(y+1)2=50

，
消去y得2x²-（2m+16）x+m²+2m=0．
∴x1+x2=m+8， x1x2=

m2+2m

2

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-4）（y₂-4）=（x₁-2）（x₂-2）+（-x₁+m-4）（-x₂+m-4）=2x1x2-(m-2)(x1+x2)+(m-4)2+4=m²+2m-（m-2）（m+8）+（m-4）²+4=m²-12m+36=（m-6）²．
∵直線l與圓C相交于不同兩點，
∴

|7-1-m|

2

＜5

2

．
∴-4＜m＜16．
∴

AM

•

AN

的取值范圍是[0，100）．…（14分）

點評：本小題主要考查直線和圓、平面向量等基礎知識，考查數形結合、函數與方程的數學思想方法，以及運算求解能力、創新意識．