Question

已知三棱錐P-ABC的側面PAC⊥底面ABC，側棱PA⊥AB，且PA=PC=AC=AB=4．如圖AB?平面α，以直線AB為軸旋轉三棱錐，記該三棱錐在平面α上的俯視圖面積為S，則S的最小值是

 

，S的最大值是

 

．

Answer 1

考點：簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關系與距離

分析：由側面PAC⊥底面ABC可得：旋轉過程中等邊△PAC在底面上的射影總在側面PAC與平面α的交線l上，且長度范圍是[2

3

，4]，由已知可推證AB⊥l，進而可得S的最值．

解答： 解：取AC的中點D，
由PA=PC=AC，可得PD⊥AC，
又∵側面PAC⊥底面ABC，側面PAC∩底面ABC=AC，PD?側面PAC
∴PD⊥底面ABC，

又∵AB?底面ABC，
∴PD⊥AB，
又∵PA⊥AB，PA∩PD=P，
∴AB⊥平面PAC，
∴旋轉過程中等邊△PAC在底面上的射影總在側面PAC與平面α的交線l上，
且長度范圍是[2

3

，4]，
又∵AB⊥l，
所以S最小值為4

3

，最大值為8．
故答案為：4

3

，8．

點評：本題考查的知識點是簡單幾何體的三視圖，其中分析出等邊△PAC在底面上的射影總在側面PAC與平面α的交線l上，且長度范圍是[2

3

，4]，是解答的關鍵．