Question

過雙曲線x²-y²=4的右焦點F作傾斜角為105⁰的直線，交雙曲線于P、Q兩點，則|FP|•|FQ|的值為

 

．

Answer 1

分析：先由點斜式寫出直線方程，設出兩個交點坐標，再由弦長公式計算，作出解答．

解答：解：∵F(2

2

，0)，k=tan1050=-(2+

3

)．
∴l：y=-(2+

3

)(x-2

2

)．
代入x²-y²=4得：(6+4

3

)x2-4

2

(7+4

3

)x+60+32

3

=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．?x₁+x₂=

4 2 (7+4 3 )

6+4 3

，x1•x2=

60+32 3

6+4 3

．
又|FP|=

1+k2

|x1-2

2

|，|FQ|=

1+k2

|x2-2

2

|，
∴|FP|•|FQ|=(1+k2)|x1x2-2

2

(x1+x2)+8|
=(8+4

3

)•|

60+32 3

6+4 3

-

16(7+4 3 )

6+4 3

+8|
=

(8+4 3 )(+4)

6+4 3

=

8 3

3

，
故答案為：

8 3

3

．

點評：解析幾何的綜合題在高考中的“綜合程度”往往比較高，且計算量常常較大，因此平時復習時要注意其深難度，同時注意加強計算能力的培養．“設而不求”和“弦長公式”是常用的方法和公式．