Question

【題目】設M、N、T是橢圓 上三個點，M、N在直線x=8上的攝影分別為M1、N1 ．
（Ⅰ）若直線MN過原點O，直線MT、NT斜率分別為k1 ， k2 ， 求證k1k2為定值．
（Ⅱ）若M、N不是橢圓長軸的端點，點L坐標為（3，0），△M1N1L與△MNL面積之比為5，求MN中點K的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0 ， y0），則h1h2= ， 又 兩式相減得 ，
即h1h2= =﹣ ，
（Ⅱ）設直線MN與x軸相交于點R（r，0），s△MNL= ×|r﹣3||yM﹣yN|
= | ．
由于△M1N1L與△MNL面積之比為5且|yM﹣yN|=| ，得
=5 ，r=4（舍去）或r=2．
即直線MN經過點F（2，0）．設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），K（x0 ， y0）
①當直線MN垂直于x軸時，弦MN中點為F（2，0）；
① 當直線MN與x軸不垂直時，設MN的方程為y=k（x﹣2），則
聯立 ．（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0
．
x0= ．
消去k，整理得（x0﹣1）2+ =1（y0≠0）．
綜上所述，點K的軌跡方程為（x﹣1）2+ =1（x＞0）
【解析】（Ⅰ）設M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0 ， y0），則h1h2= ， 又 即可得h1h2（Ⅱ）設直線MN與x軸相交于點R（r，0），根據面積之比得r即直線MN經過點F（2，0）．設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），K（x0 ， y0）分①當直線MN垂直于x軸時，②當直線MN與x軸不垂直時，設MN的方程為y=k（x﹣2）x0= ． 消去k，整理得（x0﹣1）2+ =1（y0≠0）．