Question

【題目】如圖，以橢圓（）的右焦點為圓心，為半徑作圓（其中為已知橢圓的半焦距），過橢圓上一點作此圓的切線，切點為.

（1）若，為橢圓的右頂點，求切線長；

（2）設圓與軸的右交點為，過點作斜率為（）的直線與橢圓相交于、兩點，若恒成立，且.求：

（ⅰ）的取值范圍；

（ⅱ）直線被圓所截得弦長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

（1）利用求得，進而得到，利用勾股定理可求得切線長；

（2）（ⅰ）由恒成立可知；根據切線長的求解可知當最小時，最小，從而構造出不等式求得的范圍；

（ⅱ）設直線方程，與橢圓方程聯立后寫出韋達定理的形式，同時利用韋達定理表示出，根據垂直關系可得，從而構造等式求得，得到直線方程；利用垂徑定理可將所求弦長化為，采用換元法，可將等式右側變為關于的函數的形式，結合二次函數的性質可求得函數的最大值，即為所求弦長的最大值.

（1）由得：

當為橢圓右頂點時，

又圓的半徑為

（2）（ⅰ）當取得最小值時，取得最小值

，則，即

又，，解得：

即的取值范圍為

（ⅱ）由題意得：，則直線

聯立得：

設，，則，

，整理可得：

又 直線，即

圓心距離，又半徑

直線被圓截得的弦長為

令，則，令

當，即時，

即直線被圓截得的弦長的最大值為