【題目】設各項均為整數的無窮數列
滿足：
，且對所有
，
均成立.
（1）寫出
的所有可能值（不需要寫計算過程）；
（2）若
是公差為1的等差數列，求的通項公式；
（3）證明：存在滿足條件的數列，使得在該數列中，有無窮多項為2019.
【答案】（1）
，
，
，1，3，5，7；（2）
，
；（3）證明見解析.
【解析】
（1）通過列舉法表示出所有可能值
（2）分析可知
表示的是原數列中的奇數項，求得奇數項的通項公式，再利用相鄰兩項差的絕對值的關系構造關系式解出偶數項，進而求得通項
（3）可利用（2）中的數列，構造一個循環數列，則可證明循環數列中存在無窮多項為2019
（1），，，1，3，5，7；
（2）
是公差為1的等差數列，
數列
的所有奇數項為公差為1的等差數列，
當
時，
當
時，由
可知：
，即
解得：
，
；
（3）由（2）可知存在一個數列使得奇數項為從1開始的連續自然數，則易知
，
然后自4037項開始，構造奇數項為公差為的等差數列，由（2）可知，
當
，
時，
當時，由可知
即
，解得：
則當奇數項取至1時，重復第一段的數列，得到一個周期數列，在此周期數列中，存在無窮多項為2019，即可得證．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數，
且
），且數列
是首項為
，公差為
的等差數列．
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
，當
時，求數列
的前
項和
的最小值；
（3）若
，問是否存在實數，使得
是遞增數列？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知無窮數列
的前n項和為
，記
， 
，…， 
中奇數的個數為
．
(Ⅰ)若
= n，請寫出數列
的前5項；
(Ⅱ)求證："
為奇數， 
(i = 2,3,4,...）為偶數”是“數列
是單調遞增數列”的充分不必要條件；
(Ⅲ)若
，i=1, 2, 3,…，求數列
的通項公式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}是以d為公差的等差數列，{bn}數列是以q為公比的等比數列．
（1）若數列{bn}的前n項和為Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整數q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數列中是否存在一項bk，使得bk恰好可以表示為該數列中連續p（p∈N，p≥2）項的和？請說明理由；
（3）若b1＝ar，b2＝as≠ar，b3＝at（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的約數），求證：數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，以橢圓
（
）的右焦點
為圓心，
為半徑作圓（其中
為已知橢圓的半焦距），過橢圓上一點
作此圓的切線，切點為
.
（1）若
，為橢圓的右頂點，求切線長
；
（2）設圓與
軸的右交點為
，過點作斜率為
（
）的直線
與橢圓相交于
、
兩點，若
恒成立，且
.求：
（ⅰ）的取值范圍；
（ⅱ）直線被圓所截得弦長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線
，對坐標平面上任意一點
,定義
,若兩點
,
，滿足
，稱點,在曲線
同側；
，稱點,在曲線兩側.
(1)直線
過原點，線段
上所有點都在直線同側，其中
，
,求直線的傾斜角的取值范圍；
(2)已知曲線
，
為坐標原點，求點集
的面積；
(3)記到點
與到
軸距離和為
的點的軌跡為曲線
，曲線
，若曲線上總存在兩點
,
在曲線兩側,求曲線的方程與實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某溫室大棚規定，一天中，從中午12點到第二天上午8點為保溫時段，其余4小時為工作作業時段，從中午12點連續測量20小時，得出此溫室大棚的溫度y（單位：度）與時間t（單位：小時，
）近似地滿足函數
關系，其中，b為大棚內一天中保溫時段的通風量。
（1）若一天中保溫時段的通風量保持100個單位不變，求大棚一天中保溫時段的最低溫度（精確到0.1℃）；
（2）若要保持一天中保溫時段的最低溫度不小于17℃，求大棚一天中保溫時段通風量的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義在
上的函數
,若函數
滿足：①在區間上單調遞減，②存在常數
,使其值域為
，則稱函數
是函數的“漸近函數”.
(1)判斷函數
是不是函數
的“漸近函數”，說明理由；
(2)求證：函數
不是函數
的“漸近函數”；
(3)若函數
，
,求證：當且僅當
時,
是的“漸近函數”.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某服裝廠生產一種服裝，每件服裝成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，規定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低
元，根據市場調查，銷售商一次訂購不會超過600件.
（1）設一次訂購
件，服裝的實際出廠單價為
元，寫出函數
的表達式；
（2）當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？
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