Question

設F₁，F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦點，以F₁F₂為直徑作圓與雙曲線左支交于A，B兩點，且∠AF₁B=120°．則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據以線段F₁F₂為直徑的圓交雙曲線左支于A，B兩點，且∠AF₁B=120°，可得△OF₁A是等邊三角形，再利用雙曲線的定義，即可求得離心率．

解答： 解：∵以線段F₁F₂為直徑的圓交雙曲線左支于A，B兩點，且∠AF₁B=120°，
∴△OF₁A是等邊三角形
∴|AF₁|=c，|AF₂|=

|F1F2|2-|AF1|2

=

3

c，
∴2a=|AF₂|-|AF₁|=（

3

-1）c，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的性質，考查雙曲線的定義，考查運算能力，屬于中檔題．