Question

已知拋物線C：y²=-x與直線l：y=k（x+1）相交于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）求

OA

•

OB

的值；
（2）當△AOB的面積為

10

時，求實數k的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,平面向量數量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）聯立直線方程和拋物線方程，分別消去x，y運用韋達定理，再由向量的數量積的運算，即可得到所求值；
（2）直線l：y=k（x+1）恒過點（-1，0），則△AOB的面積為S=

1

2

|y₁-y₂|，運用（1）的結論，計算即可得到k．

解答： 解：（1）將直線方程代入拋物線方程，消去y，得，
k²x²+（2k²+1）x+k²=0，（k≠0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=1，
又聯立直線方程和拋物線方程，消去x，得，
ky²+y-k=0，則y₁y₂=-1，y₁+y₂=-

1

k

，
則有

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-1=0；
（2）直線l：y=k（x+1）恒過點（-1，0），
則△AOB的面積為S=

1

2

|y₁-y₂|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

1 k2 +4

=

10

，解得，k=±

1

6

．

點評：本題考查拋物線方程和運用，考查向量的數量積的坐標表示，考查直線方程和拋物線方程聯立，消去未知數，運用韋達定理和面積公式，考查運算能力，屬于中檔題．