Question

已知f（x）=x²+bln（x+1）其中b∈R．
（1）若對f（x）定義域內的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（2）若函數f（x）在其定義域內是單調函數，求b的取值范圍；
（3）若b=-1，證明：對任意的正整數n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），且f′（x）=2x+

b

x+1

，則由題意可得f′（1）=2+

b

2

=0，從而求b；
（2）由題意可得f′（x）=2x+

b

x+1

≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）恒成立，從而可解得，b≥

1

2

；
（3）令h（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，可證明x²-ln（x+1）＜x³，從而可證對任意的正整數n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+

b

x+1

，
又∵f（x）≥f（1），
∴f′（1）=2+

b

2

=0，
解得：b=-4；
（2）∵f′（x）=2x+

b

x+1

，
若使函數f（x）在其定義域內是單調函數，
∴f′（x）=2x+

b

x+1

≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）恒成立，
解得，b≥

1

2

．
（3）證明：令h（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，
h′（x）=-3x²-

1

x+1

+2x=

-3x3-(x-1)2

x+1

＜0，
∴h（x）在[0，+∞）上是減函數，
又h（0）=0，
∴h（x）＜h（0）=0，
即x²-ln（x+1）＜x³，
令x=

1

k

＞0，
∴f（

1

k

）=

1

k2

-ln（1+

1

k

）＜

1

k3

，
∴

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了函數與數列之間的關系，屬于中檔題．