Question

如圖所示，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的焦點為F₂，且其準線與x軸交于F₁，以F₁，F₂為焦點，離心率e=的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定c=1，再利用橢圓的離心率，求出幾何量，即可得到橢圓C₂的方程；
（2）假設存在，橢圓方程與拋物線方程聯立，求出P的坐標，從而可得結論．
解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F₂（1，0）
設橢圓方程為=1（a＞b＞0），則c=1，
又e==，所以a=2，b²=3
所以橢圓C₂方程為；
（2）假設存在實數m，使得△PF₁F₂的三條邊的邊長是連續的自然數，則
因為c=m，e==，則a=2m，b²=3m²，
設橢圓方程為，與拋物線方程聯立得3x²+16mx-12m²=0
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=，代入拋物線方程得y_P=
∴P（）
∴|PF₂|=x_P+m=，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-=，|F₁F₂|=2m=，
∵△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數，∴m=3．
點評：本題考查橢圓方程，考查使得三角形周長是連續的自然數的最小實數的求法，考查橢圓與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．