Question

【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BB1C1C為∠CBB1=60°的菱形,AB=AC1 .

(1)證明:平面AB1C⊥平面BB1C1C

(2)若AB⊥B1C,直線AB與平面BB1C1C所成的角為30°,求直線AB1與平面A1B1C 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）推導出，，從而⊥平面，由此能證明平面⊥平面；（2）以為原點建立空間直角坐標系，由直線與平面所成的角為，得，設，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．

證明：（1）連接交于O，連接AO,側面為菱形，

∴,，0為的中點，

∴又,⊥平面,平面

∴平面⊥平面

（2）由,,,∴⊥平面ABO，平面ABO, ∴從而AO,OB,兩兩互相垂直，以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系O-xyz,直線AB與平面所成的角為30°。

設AO=1，則,又，是邊長為2的等邊三角形

∴,,,,

,,

設是平面的法向量，則

令，直線與平面所成的角為

則,

直線與平面所成角的正弦值為.