Question

【題目】已知點，在橢圓上，其中為橢圓的離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線經過的上頂點且與拋物線交于，兩點，為橢圓的焦點，直線，與分別交于點（異于點），（異于點），證明：直線的斜率為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據條件代入可解

（2）用橢圓的焦點（用右焦點也可以），設的方程為，聯立和，設，得到，，又直線的方程為，聯立和得到的坐標為，同理，最后得.

解：（1）依題意得

解得，

所以橢圓的方程為

（2）

以橢圓的左焦點為例，則算出來的答案為定值1

證明：由題意知的斜率存在，故設直線的方程為，

由，得．

設，，

則，即且，，．

又直線的方程為，

由，得，

所以，所以，從而的坐標為．

同理可得的坐標為，

所以為定值．

同理：若用橢圓的右焦點，計算方法同上．算出來的答案為定值