Question

【題目】已知動點M到定點F1(－2,0)和F2(2,0)的距離之和為.

（1）求動點M的軌跡C的方程；

（2）設N(0,2)，過點P(－1，－2)作直線l，交曲線C于不同于N的兩點A，B，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2，求k1＋k2的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4

【解析】

本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用

（1）考查橢圓的基本量間的關系

（2）是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，在本問中需考慮直線的斜率是否存在

解：(1)由橢圓的定義，可知點M的軌跡是以F1，F2為焦點，為長軸長的橢圓．

由c＝2，a＝2 ，得b＝2.

故動點M的軌跡C的方程為.

(2)當直線l的斜率存在時，設其方程為y＋2＝k(x＋1)，

由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.

Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，則k>0或k<－

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ， .

從而

當直線l的斜率不存在時，得

所以k1＋k2＝4.

綜上，恒有k1＋k2＝4.