Question

【題目】已知函數．

（1）若在處的切線的方程為，求此時的最值；

（2）若對任意，，不等式成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），無最小值；（2）

【解析】

（1）先對函數進行求導，由求出值，再根據導函數的零點進行分類討論，求出函數的單調性，從而得解；

（2）由得，構造函數，通過求導，求出的最小值，從而得到，即，再構造函數，通過求導，討論的單調性，利用的最大值小于0，從而得出結果.

（1）由得，

令得：，

由題意：，解得，

所以，，

當時，，在上單調遞增；

當時，，在上單調遞減，

因此，，無最小值.

（2），

令，

，在上單調遞增，

，

，

令，，

，

，，

①當，即時，，在上單調遞增，

若使恒成立，只需，即，解得，

所以，；

②當，即時，，在上單調遞減，

若使恒成立，只需，即，合題意；

②當，即時，

令，解得：，

由得：，

由得：，

所以，在上單調遞增，在上單調遞減，

，

，即，解得，

又，所以合題意

綜上，的取值范圍為.