Question

【題目】已知曲線：與曲線：交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求曲線的方程．

（Ⅱ）設(shè)過(guò)曲線焦點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，．求證：為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）確定圓的圓心和半徑，根據(jù)周長(zhǎng)可求得，由圓心到直線距離可確定弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求得后即可得到結(jié)果；

（Ⅱ）設(shè)直線，，，將方程與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論整理可得定值.

（Ⅰ）曲線方程可整理為：，則圓心，半徑，

又曲線，關(guān)于軸對(duì)稱，則軸，

的周長(zhǎng)為，，

到的距離，故弦的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，

，解得：，拋物線的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由于直線不與軸重合，可設(shè)：，

設(shè)，，

由，消去整理得：，，，

，

為定值．