Question

【題目】設，函數.

（Ⅰ）討論函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線與直線平行，且對任意，，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域以及導函數，然后分類討論、或，根據導數與函數單調性的關系即可求解.

（Ⅱ）由導數的幾何意義可得，求得，從而可得解析式，由（Ⅰ）知，時，的定義域內單減，不等式恒成立轉化為恒成立，令，可知在內單減，只需恒成立，分離參數法，轉化為即可.

（Ⅰ）的定義域是.

.

（1）當時，，的定義域內單增；

（2）當時，由得，.

此時在內單增，在內單減；

（3）當時，，的定義域內單減.

（Ⅱ）因為，所以，.

此時.

由（Ⅰ）知，時，的定義域內單減.

不妨設，

則，即，

即恒成立.

令，，則在內單減，即.

，，.

而，當且僅當時，取得最小值，

所以，故實數的取值范圍是.