Question

設A_n為數列{a_n}的前n項和，A_n= (a_n－1)，數列{b_n}的通項公式為b_n=4n+3;

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)把數列{a_n}與{b_n}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明:數列{d_n}的通項公式為d_n=3²ⁿ⁺¹;

(3)設數列{d_n}的第n項是數列{b_n}中的第r項，B_r為數列{b_n}的前r項的和；D_n為數列{d_n}的前n項和，T_n=B_r－D_n，求 

Answer 1

(1) a_n=3ⁿ (2)證明略 (3)

解析:

(1)由A_n=(a_n－1)，可知A_n+1=(a_n+1－1)，

∴a_n+1－a_n= (a_n+1－a_n)，即=3，而a₁=A₁= (a₁－1)，得a₁=3，所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，數列{a_n}的通項公式a_n=3ⁿ.

(2)∵3²ⁿ⁺¹=3·3²ⁿ=3·(4－1)²ⁿ

=3·［4²ⁿ+C·4^2n－1(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)²ⁿ］=4n+3，

∴3²ⁿ+1∈{b_n}.

而數3²ⁿ=(4－1)²ⁿ

=4²ⁿ+C·4^2n－1·(－1)+…+C·4·(－1)+(－1)²ⁿ=(4k+1)，

∴3²ⁿ{b_n}，而數列{a_n}={a_2n+1}∪{a_2n}，∴d_n=3²ⁿ⁺¹.

(3)由3²ⁿ⁺¹=4·r+3，可知r=，

∴B_r=，