【題目】已知拋物線
：
過點
，
為其焦點，過且不垂直于
軸的直線
交拋物線于
，
兩點，動點
滿足
的垂心為原點
.
（1）求拋物線的方程；
（2）求證：動點在定直線
上，并求
的最小值.
【答案】（1）
（2）證明見解析,
的最小值為
【解析】
（1）直接將
代入拋物線方程即可得到答案；
（2）設直線方程為
，聯立方程，表示出，運用基本不等式即可得到結論.
（1）由題意，將點代入
，
即
，解得
，
所以，拋物線
的方程為.
（2）解析1：（巧設直線）
證明：設
：，
，
，聯立，可得
，則有
，可設
：
，即
，同理
：
，解得
，即動點
在定直線
：
上.
，當且僅當
時取等號.其中
，
分別為點和點
到直線
的距離.
（2）解析2：（利用向量以及同構式）
證明：設：
，，，聯立，可得
，則有
.
，
，又
為
的垂心，從而
，代入化簡得：
，同理：
，從而可知，
，
是方程
的兩根，所以
，所以動點在定直線：上.
，當且僅當
時取等號.其中，分別為點和點到直線的距離.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的一個焦點為
,離心率為
.
（1）求的標準方程；
（2）若動點
為外一點,且到的兩條切線相互垂直,求的軌跡
的方程；
（3）設的另一個焦點為
,過上一點
的切線與（2）所求軌跡交于點
,
,求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是一個三棱錐，
是圓的直徑，
是圓上的點，
垂直圓所在的平面，
，
分別是棱
，的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）若二面角
是
，
，求
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，若存在正常數
，使得對任意的
，都有
成立，我們稱函數
為“同比不減函數”．
（1）求證：對任意正常數，
都不是“同比不減函數”；
（2）若函數
是“
同比不減函數”，求
的取值范圍；
（3）是否存在正常數，使得函數
為“同比不減函數”，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于定義域為R的函數
，若函數
是奇函數，則稱為正弦奇函數.已知
是單調遞增的正弦奇函數，其值域為R，
.
（1）已知是正弦奇函數，證明：“
為方程
的解”的充要條件是“
為方程
的解”；
（2）若
，求
的值；
（3）證明：是奇函數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．
（1）求∠A的大小；
（2）若△ABC的外接圓的半徑為
，面積為
，求△ABC的周長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了鼓勵職員工作熱情，某公司對每位職員一年來的工作業績按月進行考評打分；年終按照職員的月平均值評選公司最佳職員并給予相應獎勵.已知職員
一年來的工作業績分數的莖葉圖如圖所示：
（1）根據職員的業績莖葉圖求出他這一年的工作業績的中位數和平均數；
（2）由于職員的業績高，被公司評為年度最佳職員，在公司年會上通過抽獎形式領取獎金.公司準備了六張卡片，其中一張卡片上標注獎金為6千元，兩張卡片的獎金為4千元，另外三張的獎金為2千元.規則是：獲獎職員需要從六張卡片中隨機抽出兩張，這兩張卡片上的金額數之和作為獎金數.求職員獲得獎金6千元的概率；并說明獲得獎金6千元和8千元哪個可能性較大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知等差數列{bn}的前n項和為Tn，且T4=4，b5=6.
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）若正整數n1，n2，…，nt，…滿足5＜n1＜n2＜…＜nt，…且b3，b5，
，
，…，
，…成等比數列，求數列{nt}的通項公式（t是正整數）；
（3）給出命題：在公比不等于1的等比數列{an}中，前n項和為Sn，若am，am+2，am+1成等差數列，則Sm，Sm+2，Sm+1也成等差數列.試判斷此命題的真假，并證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（1）將曲線上各點的縱坐標伸長為原來的
倍（橫坐標不變）得到曲線
，求的參數方程；
（2）若
，
分別是直線與曲線上的動點，求
的最小值.
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