Question

【題目】設函數 且f(x)的最小值為0.

（1）求a的值；

（2）若數列滿足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，記Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超過實數m的最大整數，求Sn.

Answer 1

【答案】(1) 當a=1時，f(x)取得最小值0. (2) Sn=2n-1

【解析】

（1）(x>0).

當a≤0時，>0，則f(x)在區間(0，+∞)內單調遞增，無最小值，不符合題意.

當a>0時，若0<x<a，則<0；

若x>a，則>0.

所以，函數f(x)在區間(0，a)內單調遞減，在區間(a，+∞)內單調遞增.

故f(x)min=f(a)=ln a-a+1.

設g(a)=ln a-a+1(a>0).則.

若0<a<1，則>0；

若a>1，則<0.

所以，函數g(a)在區間(0，1)內單調遞增，在區間(1，+∞)內單調遞減.

故g(a)≤g（1）=0.

當且僅當a=1時，上式等號成立.

從而，當a=1時，f(x)取得最小值0.

（2）由（1）知

.

則an+1=f(an)+2=lnan++1.

由a1=1，得a2=2.

從而，a3=ln2+.

因為<ln2<1，所以，2<a3<3.

下面用數學歸納法證明：當n≥3時，2<an<3.

當n=3時，結論已成立.

假設n=k(k≥3)時，2<ak<3.

當n=k+1時，有.

由（1）知

h(x)=f(x)+2=lnx++1

在區間(2，3)內單調遞增.

所以，h（2）<h(ak)<h（3），即

由ln2>，ln3<2<h(ak)<32<ak+1<3，

即當n=k+1時，結論也成立.

由歸納假設，知對一切整數n≥3，均有2<an<3.

于是，[a1]=1，[an]=2(n≥2).

故Sn=[ a1]+[a2]+…+[an] =1+2(n-1)-2n-1.